Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos（x-$\frac{π}{4}$）-sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；
（Ⅱ）若θ為第一象限角，且f（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求cos（2θ+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）結論：函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，由函數(shù)f（x）的定義域為R，關于原點對稱，求出f（x）和f（-x）即可證得結論；
（Ⅱ）由已知條件求出$cos（θ+\frac{π}{3}）$，再由θ為第一象限角，求出$sin（θ+\frac{π}{3}）$，然后利用三角函數(shù)的誘導公式化簡計算即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）結論：函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)．
證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，關于原點對稱，
f（x）=cos（x-$\frac{π}{4}$）-sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}cos[（x-\frac{π}{4}）+\frac{π}{4}]=\sqrt{2}cosx$
f（-x）=$\sqrt{2}cos（-x）=\sqrt{2}cosx=f（x）$．
因此，函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$cos（θ+\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}$．
由于θ為第一象限角，故$sin（θ+\frac{π}{3}）=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（2θ+$\frac{π}{6}$）=$cos[2（θ+\frac{π}{3}）-\frac{π}{2}]=sin[2（θ+\frac{π}{3}）]$
=$2sin（θ+\frac{π}{3}）cos（θ+\frac{π}{3}）=2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象，考查了三角函數(shù)的化簡求值，是中檔題．