已知函數(shù)f（x）=2cosxcos（
π
6
-x）-
3
sin2x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)x∈[-
π
3
，
π
2
]，求f（x）的值域．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)x的范圍確定2x+
π
3
的范圍，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．
解答： 解：（1）∵f（x）=2cosxcos（
π
6
-x）-
3
sin2x+sinxcosx=
3
（cos2x-sin2x）+2sinxcosx=
3
cos2x+sin2x=2sin（2x+
π
3
）
∴函數(shù)最小正周期為T=
2π
2
=π，
由-
π
2
+2kπ≤2x≤
π
2
+2kπ，得-
5π
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ，k∈z
∴單調(diào)增區(qū)間為(
-5π
12
+kπ，
π
12
+kπ)
（2）∵x∈[-
π
3
， 
π
2
]，
∴-
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3
，
又f(x)=2sin(2x+
π
3
)，
∴f(x)∈[-
3
， 2]，
f（x）的值域為[-
3
， 2]．
點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．注重了對學生基本公式和性質(zhì)的記憶和運用的考查．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin（x-
π
6
）+cos（x-
π
6
）．
（Ⅰ）當x∈A時，函數(shù)f（x）取得最大值或最小值，求集合A；
（Ⅱ）將集合A中x∈（0，+∞）的所有x的值，從小到大排成一數(shù)列，記為{an}，求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）令bn=
π
2
 
an•an+1
，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若
π
4
＜α＜
3π
4
，0＜β＜
π
4
且sin（α+
π
4
）=
3
5
，cos（
π
4
+β）=
5
13
，求sin（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某計算機集團公司生產(chǎn)某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元，分別寫出總成本C（萬元）、單位成本P（萬元）、銷售收入R（萬元）以及利潤L（萬元）關(guān)于總產(chǎn)量X（臺）的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=ex+x
（1）求曲線在點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若點Q為曲線y=f（x）上到直線y=2x-1距離最近的點，求點Q的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}（n∈N*）的各項滿足a1=1-3k，an=4n-1-3an-1（n≥2，k∈R），
（Ⅰ）判斷數(shù)列{an-
4n
7
}是否成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ex，g（x）=ex+
1
2
x2-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）定義：若函數(shù)φ（x）在定義域為[m，n]（m＜n）上的值域為[m，n]，則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)φ（x）的“同域區(qū)間”，當a=
3
2
時，函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否存在“同域區(qū)間”？請說明理由；
（3）當a＞1時，對于區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S6=51，a5=13．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）數(shù)列{bn}的通項公式是bn=2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)g（x）=|x-3m|+|x-1|，m∈R．若存在x0∈R，使得g（x0）-4＜0成立，則m的取值范圍為
 
．

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