Question

（06年浙江卷理）（14分）

已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項(xiàng)x＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x,f (x)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）

.

求證：當(dāng)n時(shí)，

  (Ⅰ)x 

（Ⅱ）

 

Answer 1

本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力。

解析：證明：（I）因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331085210001.gif' width=112>

所以曲線在處的切線斜率

因?yàn)檫^和兩點(diǎn)的直線斜率是

所以.

（II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，

而

，

所以，即

因此

又因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331085213016.gif' width=145>

令

則

因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331085214019.gif' width=104>

所以

因此

故