Question

設函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c，其中a+b=0，a，b，c均為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y-1=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y-1=0，a+b=0，建立方程，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）先求導數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）因為f′（x）=3ax²+2bx，
所以f′（1）=3a+2b，
又因為切線x+y=1的斜率為-1，所以3a+2b=-1，a+b=0，
解得a=-1，b=1，…（3分）
f（1）=c，由點（1，c）在直線x+y=1上，可得1+c=1，即c=0，
所以a=-1，b=1，c=0；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2x=0，解得x=0或x=

2

3

，…（8分）
當x∈（-∞，0）時f′（x）＜0；當x∈（0，

2

3

）時f′（x）＞0；
當x∈（

2

3

，+∞）時f′（x）＜0，…（10分）
所以f（x）的增區(qū)間為（0，

2

3

），減區(qū)間為（-∞，0）、（

2

3

，+∞）．  …（12分）

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．