Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)）．

（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；

（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上一個動點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

 

Answer 1

（1）點(diǎn)P在直線l上；（2）.

【解析】

試題分析：（1）將極坐標(biāo)下的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，然后判斷即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出距離，然后運(yùn)用三角變換化簡求解即可（3）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.（4）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式.

試題解析：（1）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)化為直角坐標(biāo)系，得．因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點(diǎn)P在直線l上．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為從而點(diǎn)Q到直線l的距離為：d＝，由此得，當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為.

考點(diǎn)：（1）參數(shù)方程的應(yīng)用；（2）點(diǎn)到直線點(diǎn)的距離公式應(yīng)用.