Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺），其總成本為g（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）；銷售收入R（x）（萬元）滿足：

-0.4x2+4.2x-0.8(0≤x≤5) 10.2(x＞5)

假設(shè)該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，試根據(jù)上述資料分析：
（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)；
（2）工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？
（3）當(dāng)盈利最多時，求每臺產(chǎn)品的售價．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，g（x）=x+2，設(shè)利潤函數(shù)為f（x），則f（x）=R（x）-g（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8，(0≤x≤5) 8.2-x，(x＞5)

，解f（x）＞0即可．
（2）分別求各段上的最大值，從而求最高盈利；
（3）當(dāng)x=4時，R（4）=9.6（萬元），

R(4)

4

=2.4（萬元/百臺），從而得到．

解答： 解：（1）由題意，g（x）=x+2，設(shè)利潤函數(shù)為f（x），
則f（x）=R（x）-g（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8，(0≤x≤5) 8.2-x，(x＞5)

，
由f（x）＞0得，
1＜x≤5或5＜x＜8.2，
故1＜x＜8.2，
故要使工廠有盈利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在100臺到820臺內(nèi)．
（2）當(dāng)0≤x≤5時，f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
故當(dāng)x=4時有最大值3.6；
當(dāng)x＞5時，f（x）＜8.2-5=3.2；
故當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺產(chǎn)品時，可使盈利最多為3.6萬元．
（3）當(dāng)x=4時，
R（4）=9.6（萬元），

R(4)

4

=2.4（萬元/百臺），
故盈利最多時，每臺產(chǎn)品的售價為240元．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．