Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sin．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）已知，且0＜θ＜π，求函數(shù)f（x）=2sin（2x+θ）在區(qū)間上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，再由余弦定理表示出cosA，將得出的等式變形后代入cosA中，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由A的度數(shù)，求出B+C的度數(shù)為，設(shè)B=+α，C=-α，-＜α＜，代入已知的tanθ的式子中，分子分母分別利用和差化積公式變形后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系得到tanθ=tan，由θ的范圍得到θ=，代入函數(shù)f（x）解析式中，根據(jù)x的范圍，得到這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出此時(shí)函數(shù)的最大值及最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得：2a²=（2b-c）b+（2c-b）c，…（1分）
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA==，…（3分）
∵0＜A＜π，
∴A=；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：B+C=π-A=，
設(shè)B=+α，C=-α，-＜α＜，
∴tanθ====tan，
∵0＜θ＜π，∴θ=，…（9分）
∴f（x）=2sin（2x+θ）=2sin（2x+），
∵-≤x≤-，-≤2x+≤，
∴當(dāng)2x+=-，即x=-時(shí)，f（x）有最小值-2；
當(dāng)2x+=，即x=-時(shí)，f（x）有最大值1，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-，-]上的最大值與最小值分別為-2與1．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，和差化積公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，其中確定出θ的度數(shù)是解第二問(wèn)的關(guān)鍵．