Question

已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得結(jié)論．
（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得M到C₃的距離d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

|sin（θ+α）-

13

5

|，從而求得d取得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）把C₁，C₂的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為普通方程分別為C1：(x+4)2+(y-3)2=1，C2：

x2

64

+

y2

9

=1，
C₁為圓心是（-4，3），半徑是1的圓；C₂為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．
（Ⅱ）當(dāng)t=

π

2

時(shí)，P（-4，4），設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），故M(-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ)，C₃為直線x-2y-7=0，
求得M到C₃的距離d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

|

4

5

cosθ-

3

5

sinθ-

13

5

|=

5

|sin（θ+α）-

13

5

|，其中，sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

．
從而當(dāng)sin（θ+α）=1，即當(dāng) cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

時(shí)，d取得最小值為

8 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式，輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．