Question

【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間[2，4]的有8人．

（1）求直方圖中a的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)；
（2）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設4人中甲班學生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由直方圖知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，

解得a=0.0375，

因為甲班學習時間在區(qū)間[2，4]的有8人，

所以甲班的學生人數(shù)為 ，

所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人．

所以甲班學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.0375×2=3（人）．

（2）

解：乙班學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為40×0.05×2=4（人）．

由（1）知甲班學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)為3人，

在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人，

ξ的所有可能取值為0，1，2，3．

，

，

，

．

所以隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

【解析】（1）由直方圖能求出a的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間（10，12]的人數(shù)．（2）由已知得ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．