Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

(2-x)(x+4)x≤2 (2-x)(x-a)x＞2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，6]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的解析式一定，找出函數(shù)的對(duì)稱軸，由對(duì)稱軸把區(qū)間[-2，2]分段，判出函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，則最大值和最小值可求；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=（2-x）（x-a）=-x²+（a+2）x-2a橫過(guò)定點(diǎn)（2，0），根據(jù)a的不同取值范圍對(duì)函數(shù)的對(duì)稱軸所在的位置討論，結(jié)合函數(shù)f（x）=（2-x）（x+4）=-x²-2x+8得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，6]上的單調(diào)性．最后通過(guò)比較極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值得到函數(shù)在[-4，6]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）在區(qū)間[-2，2]上，f（x）=（2-x）（x+4）=-x²-2x+8．
其對(duì)稱軸為x=-1，且開(kāi)口向下，如圖，

所以f（x）在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為f（-1）=-（-1）²-2×（-1）+8=9，
最小值為f（2）=-2²-2×2+8=0．
（Ⅱ）當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=（2-x）（x-a）=-x²+（a+2）x-2a
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

a+2

2

，且橫過(guò)定點(diǎn)（2，0）．
當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，6]上單調(diào)遞減，
所以f（x）的最大值為f（-1）=9．
當(dāng)2＜a≤8時(shí)，f（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，2]上單調(diào)遞減，
在[2，

a+2

2

]單調(diào)遞增，在[

a+2

2

，6]上單調(diào)遞減，
此時(shí)f（-1）=9，f(

a+2

2

)=(

a-2

2

)2≤9，所以f（x）的最大值為9．
當(dāng)8＜a≤10時(shí)，f（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，2]上單調(diào)遞減，
在[2，

a+2

2

]單調(diào)遞增，在[

a+2

2

，6]上單調(diào)遞減．
此時(shí)f(

a+2

2

)=(

a-2

2

)2＞f(-1)，所以f（x）的最大值為

(a-2)2

4

．
當(dāng)a＞10時(shí)，f（x）在[-4，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，2]上單調(diào)遞減，在[2，6]單調(diào)遞增，
此時(shí)f（6）=4（a-6）＞f（-1），所以f（x）的最大值為4（a-6）．
綜上，g(a)=

9   a≤8 (a-2)2 4 8＜a≤10 4(a-6)   a＞10.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合的解題思想，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類，并判斷出函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性，對(duì)于最值點(diǎn)的選取應(yīng)引起足夠重視，此題是中檔題．