Question

3．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若0＜a＜3，當x∈[0，1]時，試確定當|f'（x）|≤1時a，b滿足的條件；
（Ⅱ）若a=2時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1恰有三個不同的公共點，試確定b的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由x∈[0，1]時，f'（x）=-3x²+2ax．由|f'（x）|≤1，可得-1≤-3x²+2ax≤1．記g（x）=-3x²+2ax，x∈[0，1]，|g（x）|≤1，利用二次函數(shù)的單調性即可得出．
（II）若a=2，則f（x）=-x³+2x²+b，f'（x）=-3x²+4x，令f'（x）=x（-3x+4）=0，解得x，利用導數(shù)研究其單調性極值與最值，函數(shù)圖象的交點轉化為求函數(shù)的值域．

解答 解：（I）∵x∈[0，1]時，f'（x）=-3x²+2ax．
∵|f'（x）|≤1，
∴-1≤-3x²+2ax≤1．
記g（x）=-3x²+2ax，x∈[0，1]，|g（x）|≤1，
∵0＜a＜3，
則$\left\{{\begin{array}{l}{|{g（1）}|=|{2a-3}|≤1}\\{0＜\frac{a}{3}＜1}\\{|{g（\frac{a}{3}）}|=\frac{a^2}{3}≤1}\end{array}}\right.$，
解之，得$\left\{{\begin{array}{l}{1≤a≤2}\\{0≤a≤\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，即$1≤a≤\sqrt{3}$，
即當x∈[0，1]，|f'（x）|≤1時，a∈$[1，\sqrt{3}]$，b∈R．
（II）若a=2，則f（x）=-x³+2x²+b，f'（x）=-3x²+4x，
令f'（x）=x（-3x+4）=0，則x=0或$\frac{4}{3}$，
∴當x＜0時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當$0＜x＜\frac{4}{3}$時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當$x＞\frac{4}{3}$時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
∴f（x）的極大值、極小值分別為$f（\frac{4}{3}）$、f（0），
∴當且僅當$f（\frac{4}{3}）＞1$且f（0）＜1時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1恰有三個不同的公共點，
由$f（\frac{4}{3}）＞1$且f（0）＜1，解得$b＞-\frac{5}{27}$且b＜1，
綜上$b∈（-\frac{5}{27}，1）$．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調性極值與最值、函數(shù)圖象的交點轉化為求函數(shù)的值域、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．