Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃＞a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項的和為S_n，且Sn=1-

1

2

bn （n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求證：c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）通過求解一元二次方程求得a₃，a₅，則等差數(shù)列{a_n}的公差可求，直接由a_n=a_m+（n-m）d寫出通項公式；根據(jù)給出的數(shù)列{b_n}的遞推式，先取n=1求出b₁，取n=n-1得另一遞推式，兩式作差整理后可說明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且求出公比，則{b_n}的通項公式可求；
（2）把（1）中求出的數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n=a_nb_n，再求出c_n+1，利用作差法即可求證不等式．

解答：（1）解：由x²-14x+45=0得：x₁=5，x₂=9．
∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，且等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，
∴a₃=5，a₅=9，則公差d=

a5-a3

5-3

=

9-5

2

=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1，
由Sn=1-

1

2

bn，當n=1時，有b1=S1=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

．
當n≥2時，有bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴3b_n=b_n-1，∵b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2）．
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．
∴bn=b1qn-1=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）證明：由a_n=2n-1，bn=

2

3n

，∴cn=anbn=

2(2n-1)

3n

，cn+1=

2(2n+1)

3n+1

．
則cn+1-cn=

2(2n+1)

3n+1

-

2(2n-1)

3n

=

8(1-n)

3n+1

≤0．
∴c_n+1≤c_n．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式的求法，考查了利用遞推式確定等比關(guān)系，訓練了利用作差法證明不等式，作差法證明不等式的關(guān)鍵是判斷差式的符號，此題是中檔題．