Question

2．求棱長為a的正四面體外接球的半徑．

Answer 1

分析 由正四面體的棱長為a，所以此四面體一定可以放在棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入面積公式、體積公式計算．

解答 解：∵正四面體的棱長為a，
∴此四面體一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此四面體．
如圖所示，四面體ABCD滿足題意，BC=a，
∴正方體的棱長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑=正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=$\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$a=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．

點評 此題看成正方體截得的正四面體，則此正四面體的外接球半徑即是正四面體的外接球半徑是關鍵．