Question

19．已知P，M，N在△ABC所在平面內(nèi)，且|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MA}$，且$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，則點P，M，N依次是△ABC的（　�。�

• A． 重心 垂心 內(nèi)心
• B． 外心 垂心 重心
• C． 重心 外心 內(nèi)心
• D． 外心 重心 內(nèi)心

Answer 1

分析 由三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，∴|PA|=|PB|=|PC|，∴P為△ABC的外心．
（2）∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$，
∴$\overrightarrow{MB}•$（$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}$）=0，即$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{CA}=0$，
∴MB⊥AC，同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB．
∴M為△ABC的垂心．
（3）∵$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}$=-$\overrightarrow{NC}$，
取AB的中點D，則$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}$=2$\overrightarrow{ND}$，
∴C，N，D三點共線，即N為△ABC的中線CD上的點，且NC=2ND．
∴N為△ABC的重心．
故選：B．

點評 本題考查了三角形五心的性質(zhì)，平面向量的線性運算的幾何意義，屬于中檔題．