Question

5．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且$\frac{2a-c}{c}$=$\frac{tanB}{tanC}$．
（1）求角B的大�。�
（2）若$\sqrt{（1-cos2A）（1-cos2C）}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，求cos（A-C）值．

Answer 1

分析 （1）由題意得，利用正弦定理將$\frac{2a-c}{c}$=$\frac{tanB}{tanC}$化成關于角的等式，化簡得到cosB=$\frac{1}{2}$，即可求出B的大小；
（2）由（1）可知cosB=$\frac{1}{2}$①，倍角公式化簡得到2sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$②，聯(lián)立①②即可求出cos（A-C）值．

解答 解：（1）在△ABC中，由題意得，
因為$\frac{2a-c}{c}$=$\frac{tanB}{tanC}$，
所以$\frac{2sinA-sinC}{sinC}$=$\frac{sinB}{cosB}•\frac{cosC}{sinC}$，
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，
所以2cosB=sin（B+C）=sinA，
所以cosB=$\frac{1}{2}$，所以B=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知，
cosB=$\frac{1}{2}$，即cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$，
又因為$\sqrt{（1-cos2A）（1-cos2C）}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
所以$\sqrt{2si{n}^{2}A•2si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
又因為sinA＞0，sinC＞0，
所以2sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
所以cos（A-C）=cos（A+C）+2sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考察解三角形內(nèi)容，在化簡過程中需靈活運用三角恒等變換知識．