Question

10．在平面直角坐標系xOy中，A（-1，-1），B（3，-4），C（6，0），四邊形ABCD為平行四邊形．
（1）求$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$與$\overrightarrow{DC}$的夾角；
（2）若$\overrightarrow{AC}$⊥（$\overrightarrow{AD}$+t$\overrightarrow{AB}$），求實數t的值．

Answer 1

分析 （1）設D的坐標為（x，y），根據四邊形ABCD為平行四邊形，求出x，y，再根據向量的坐標運算和向量的夾角公式即可求出，
（2）利用向量數乘、數量積的坐標表示，列出關于t的方程求解．

解答 解：（1）設D的坐標為（x，y），
∵A（-1，-1），B（3，-4），C（6，0），
∴$\overrightarrow{AD}$=（x+1，y+1），$\overrightarrow{BC}$=（3，4），
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴x+1=3，y+1=4，
∴x=2，y=3，
∴D（2，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（4，-3），$\overrightarrow{CB}$=（-3，-4），$\overrightarrow{DC}$=（4，-3），
∴$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$=（7，1），
∴（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$）•$\overrightarrow{DC}$=7×4-3×1=25，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$|=5$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{DC}$|=5，
設$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$與$\overrightarrow{DC}$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{25}{5\sqrt{2}•5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{4}$；
（2）由$\overrightarrow{AC}$=（7，1），$\overrightarrow{AD}$=（3，4），
∴$\overrightarrow{AD}$+t$\overrightarrow{AB}$=（3，4）+t（4，-3）=（3+4t，4-3t），
∵$\overrightarrow{AC}$⊥（$\overrightarrow{AD}$+t$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AD}$+t$\overrightarrow{AB}$）=7（3+4t）+1×（4-3t）=25+25t=0，
∴t=-1．

點評 本題考查向量的坐標表示，向量數乘、數量積的坐標表示，屬于基礎題．