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10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,-1),B(3,-4),C(6,0),四邊形ABCD為平行四邊形.
(1)求AB-CBDC的夾角;
(2)若AC⊥(AD+tAB),求實數(shù)t的值.

分析 (1)設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形,求出x,y,再根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和向量的夾角公式即可求出,
(2)利用向量數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)表示,列出關(guān)于t的方程求解.

解答 解:(1)設(shè)D的坐標(biāo)為(x,y),
∵A(-1,-1),B(3,-4),C(6,0),
AD=(x+1,y+1),BC=(3,4),
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
AD=BC
∴x+1=3,y+1=4,
∴x=2,y=3,
∴D(2,3),
AB=(4,-3),CB=(-3,-4),DC=(4,-3),
AB-CB=(7,1),
∴(AB-CB)•DC=7×4-3×1=25,|AB-CB|=52,|DC|=5,
設(shè)AB-CBDC的夾角為θ,
∴cosθ=25525=22,
∵0≤θ≤π,
∴θ=\frac{π}{4};
(2)由\overrightarrow{AC}=(7,1),\overrightarrow{AD}=(3,4),
\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AB}=(3,4)+t(4,-3)=(3+4t,4-3t),
\overrightarrow{AC}⊥(\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AB}),
\overrightarrow{AC}•(\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AB})=7(3+4t)+1×(4-3t)=25+25t=0,
∴t=-1.

點評 本題考查向量的坐標(biāo)表示,向量數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.

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