Question

2．曲線C是平面內(nèi)與三個定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）和F₃（0，1）的距離的和等于2$\sqrt{2}$的點的軌跡．給出下列四個結(jié)論：
①曲線C關(guān)于x軸、y軸均對稱；
②曲線C上存在一點P，使得|PF₃|=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$；
③若點P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積最大值是1；
④三角形PF₂F₃面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
其中所有真命題的序號是③．

Answer 1

分析 設(shè)曲線C上任意一點坐標(biāo)為P（x，y）由題意可得C的方程．
①在曲線C的方程中，以-y代替y，方程變化，可知不關(guān)于x軸對稱，①錯誤；
②若$|P{F_3}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，則$|P{F_1}|+|P{F_2}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}＜|{F_1}{F_2}|=2$，三角形兩邊之和小于第三邊，②錯誤；
③由題意可得，滿足條件的所有的P點都應(yīng)該在橢圓D：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$內(nèi)（含邊界）．可知曲線C與D有唯一公共點A（0，1），此時三角形面積最大，值為1；
④由以F₂，F(xiàn)₃為焦點，實半軸為$\sqrt{2}$的橢圓E的短軸頂點到直線F₂F₃（x+y-1=0）距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，可得三角形PF₂F₃的面積應(yīng)小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，說明④錯誤．

解答 解：設(shè)曲線C上任意一點坐標(biāo)為P（x，y）由題意可知：C的方程為$\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{x^2}+（y-1{）^2}}=2\sqrt{2}$．
①錯誤．在此方程中，用-x，-y分別取代x，y，可知C只關(guān)于y軸對稱，不關(guān)于x軸對稱；
②錯誤．若$|P{F_3}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$則$|P{F_1}|+|P{F_2}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}＜|{F_1}{F_2}|=2$；
③正確．∵$|P{F_1}|+|P{F_2}|≤|P{F_1}|+|P{F_2}|+|P{F_3}|=2\sqrt{2}$，∴所有的P點都應(yīng)該在橢圓D：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$內(nèi)（含邊界）．
曲線C與D有唯一公共點A（0，1），此時三角形面積最大，值為1；
④錯誤．先考慮以F₂，F(xiàn)₃為焦點，實半軸為$\sqrt{2}$的橢圓E，
其短軸頂點到直線F₂F₃（x+y-1=0）距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，此時三角形PF₂F₃的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
但是曲線C應(yīng)該在此橢圓內(nèi)部，∴三角形PF₂F₃的面積應(yīng)小于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案為：③．

點評 本題定義一個新曲線，考察學(xué)生即時學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識．從數(shù)（方程）與形（曲線）兩個角度認識事物．兩種方式有交叉，互為補充，是中檔題．