Question

已知函數(shù)f（x）=msin

π

4

x+mcos

π

4

x（m＞0），若直線y=2是函數(shù)f（x）圖象的一條切線．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的兩點M、N的橫坐標依次為2和4，O為坐標原點，求△MON的面積．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)直線y=2是函數(shù)f（x）圖象的一條切線．求得m，則函數(shù)解析式可得．
（2）分別求得f（2），f（4），則M，N的坐標可得，求得MN根據(jù)余弦定理求得cos∠MON，進而求得sin∠MON最后根據(jù)三角形面積公式求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=msin

π

4

x+mcos

π

4

x
=

2

m（

2

2

sin

π

4

x+

2

2

cos

π

4

x）
=

2

msin（

π

4

x+

π

4

）
∵直線y=2是函數(shù)圖象的一條切線，
∴

2

m=2，解得m=

2

∴f（2）=2sin（

πx

4

+

π

4

）
（2）由（1）知，f（x）=2sin（

πx

4

+

π

4

），
∴f（2）=2sin（

π

2

+

π

4

）=2cos

π

4

=

2

，
f（4）=2sin（π+

π

4

）=-2sin

π

4

=-

2

，
∴M（2，

2

），N（4，-

2

）
∴OM=

4+2

=

6

，0N=

16+2

=3

2

，
∴MN=

(4-2)2+(- 2 - 2 )2

=2

3

，
根據(jù)余弦定解得cos∠MON=

OM2+ON2-MN2

2OM•ON

=

3

3

，
∴sin∠MON=

1- 1 3

=

6

3

，
∴△MON的面積為S=

1

2

OM•ON•sin∠MON=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

．

點評：三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理的運用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，綜合性強，計算量大．