Question

14．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，若M是橢圓上一點(diǎn)，且滿足∠F₁MF₂=60°，則離心率的范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{1}{2}，1}）$
• B． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}]$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$

Answer 1

分析 利用橢圓的定義，以及余弦定理，結(jié)合基本不等式求解離心率的范圍即可．

解答 解：設(shè)MF₁=m，MF₂=n，
$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}-2mncos60°$．
即4c²=m²+n²-mn=（m+n）²-3mn，
∴$mn=\frac{4}{3}（{a^2}-{c^2}）$，
∵$m•n≤{（\frac{m+n}{2}）^2}$，即$\frac{4}{3}（{a^2}-{c^2}）≤{a^2}$，
∴${e^2}≥\frac{1}{4}∴e∈[{\frac{1}{2}，1}）$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．