5.已知數(shù)列{an},a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$.
求:(1)寫出a2,a3,a4,a5;
(2)求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an

分析 (1)由a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$.分別令n=1,2,3,4,即可得出.
(2)由${a_1}=\frac{1}{2}$,${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$,n∈N*,可知an≠0,兩邊取倒數(shù),利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

解答 解:(1)∵a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$.∴${a_2}=\frac{{3{a_1}}}{{{a_1}+3}}=\frac{3}{7}$,${a_3}=\frac{{3{a_2}}}{{{a_2}+3}}=\frac{3}{8}$.${a_4}=\frac{{3{a_3}}}{{{a_3}+3}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$,${a_5}=\frac{{3{a_4}}}{{{a_4}+3}}=\frac{3}{10}$.
(2)由${a_1}=\frac{1}{2}$,${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$,n∈N*,可知an≠0,
從而可得n≥2,$\frac{1}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+3}}{{3{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$,
即$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$,且$\frac{1}{a_1}=2$,
∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以2位首項(xiàng),$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列,從而有$\frac{1}{a_n}=2+\frac{1}{3}(n-1)=\frac{n+5}{3}$.
∴${a_n}=\frac{3}{n+5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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