Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，且a₁•a₆=11，a₃+a₄=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式及其性質、一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可得出．
（2）利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁•a₆=11，a₃+a₄=12=a₁+a₆．
∴a₁，a₆是x²-12x+11=0方程的兩根，且a₁＜a₆，
解得a₁=1，a₆=11．
∴11-1=5d，即d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）$\frac{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}{{2}^{n+1}}$}的前n項和T_n=$（\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}）$+$（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}）$+…+$（\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{2}）$
=$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．