Question

給出下列命題：
（1）設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
（2）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和s_n=2ⁿ+k，則必有k=-1；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x的最小值為2；
（4）雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點(diǎn)；
（5）平面內(nèi)到定點(diǎn)（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線．其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,拋物線的定義,雙曲線的定義

專題：閱讀型,等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）可考慮若k=|AB|，則軌跡為一條射線，即可判斷（1）；（2）求出a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n＞1

，即可求出k；
（3）運(yùn)用基本不等式，注意等號(hào)成立的條件，即可判斷（3）；（4）分別求出橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)，即可判斷；（5）注意運(yùn)用拋物線的定義的隱含條件即定點(diǎn)不在定直線上，即可判斷．

解答： 解：（1）設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，若k=|AB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線AB上，以B為端點(diǎn)的射線，故（1）錯(cuò)；
（2）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和s_n=2ⁿ+k，則a₁=2+k，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ+k-（2^n-1+k）=2^n-1，a₁=1，故k=-1，故（2）正確；
（3）若x∈R⁺，則2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^-x=1，即x=0，取等號(hào)，由于x＞0，故最小值取不到，故（3）錯(cuò)；
（4）雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)為（±

34

，0），橢圓

x2

35

+y²=1的焦點(diǎn)為（±

34

，0），
故（4）正確；
（5）平面內(nèi)到定點(diǎn)（3，-1）的距離等于到定直線x+2y-1=0的距離的點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)垂直于已知直線的一直線，而非拋物線，是因?yàn)槎�點(diǎn)在定直線上，故（5）錯(cuò)．
故答案為：（2）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線、拋物線的定義，注意隱含條件，考查基本不等式的運(yùn)用，注意等號(hào)成立的條件，考查橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和，屬于基礎(chǔ)題．