分析 (1)取AB的中點F,連結(jié)EF,A1F,推導(dǎo)出FA1∥BB1,EF∥CB,能證明平面A1EF∥平面BB1C1C,由此證明A1E∥平面BB1C1C.
(2)連結(jié)CF,則CF⊥AB,以F為原點,F(xiàn)C為x軸,F(xiàn)B為y軸,F(xiàn)A1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-BA1-E的余弦值.
解答 證明:(1)取AB的中點F,連結(jié)EF,A1F,
∵AB=2A1B1,∴BF=A1B1,
∵A1B1∥AB,∴FA1∥BB1,
∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥CB,
∵EF∩FA1=F,∴平面A1EF∥平面BB1C1C.
∴A1E∥平面BB1C1C
解:(2)連結(jié)CF,則CF⊥AB,
以F為原點,F(xiàn)C為x軸,F(xiàn)B為y軸,F(xiàn)A1為z軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,-1,0),A1(0,0,1),B(0,1,0),C(√7,0,0),
∴E(√72,-12,0),→BA1=(0,-1,1),→BE=(√72,-32,0),
設(shè)平面A1BE的一個法向量為→n=(x,y,z),
則{→n•→BA1=−y+z=0→n•→BE=√72x−32y=0,取y=1,得→n=(3√7,1,1),
平面ABA1的法向量→m=(1,0,0),
設(shè)二面角A-BA1-E的平面角為θ,
則cosθ=|→m•→n||→m|•|→n|=3√7√237=3√2323.
∴二面角A-BA1-E的余弦值為3√2323.
點評 本題考查面面的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | 5 | B. | 10 | C. | 15 | D. | 31 |
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A. | 2(2+√2) | B. | 2(√3+√2) | C. | 2(√3+1) | D. | 2(√2+1) |
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