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19.在如圖所示的幾何體中,四邊形BB1C1C是矩形,BB1⊥平面ABC,A1B1∥AB,AB=2A1B1,E是AC的中點.
(1)求證:A1E∥平面BB1C1C;
(2)若AC=BC=22,AB=2BB1=2,求二面角A-BA1-E的余弦值.

分析 (1)取AB的中點F,連結(jié)EF,A1F,推導(dǎo)出FA1∥BB1,EF∥CB,能證明平面A1EF∥平面BB1C1C,由此證明A1E∥平面BB1C1C.
(2)連結(jié)CF,則CF⊥AB,以F為原點,F(xiàn)C為x軸,F(xiàn)B為y軸,F(xiàn)A1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A-BA1-E的余弦值.

解答 證明:(1)取AB的中點F,連結(jié)EF,A1F,
∵AB=2A1B1,∴BF=A1B1
∵A1B1∥AB,∴FA1∥BB1
∵EF是△ABC的中位線,∴EF∥CB,
∵EF∩FA1=F,∴平面A1EF∥平面BB1C1C.
∴A1E∥平面BB1C1C
解:(2)連結(jié)CF,則CF⊥AB,
以F為原點,F(xiàn)C為x軸,F(xiàn)B為y軸,F(xiàn)A1為z軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,-1,0),A1(0,0,1),B(0,1,0),C(7,0,0),
∴E(72,-12,0),BA1=(0,-1,1),BE=(72,-32,0),
設(shè)平面A1BE的一個法向量為n=(x,y,z),
{nBA1=y+z=0nBE=72x32y=0,取y=1,得n=(37,1,1),
平面ABA1的法向量m=(1,0,0),
設(shè)二面角A-BA1-E的平面角為θ,
則cosθ=|mn||m||n|=37237=32323
∴二面角A-BA1-E的余弦值為32323

點評 本題考查面面的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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