Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②當x＞0時、f（x）＞-1；
（I）求：f（0）的值，并證明f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
（II）若f（1）=1，解關(guān)于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4．

Answer 1

解：（I）令x=y=0
∵f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（0）=f（0）+f（0）+1
∴f（0）=-1，
在R上任取x1＞x2，則x1-x2＞0，
∵當x＞0時、f（x）＞-1，
∴f（x1-x2）＞-1
則f（x1）=f[（x1-x2）+x2]，
=f（x1-x2）+f（x2）+1＞f（x2），
∴f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)．
（II）由f（1）=1得：f（2）=3，f（3）=5，
則關(guān)于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4可化為
關(guān)于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）+1＞5，
即關(guān)于x的不等式；f（x²+x+1）＞f（3），
由（I）的結(jié)論知f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，
故x²+x+1＞3，
解得：x＜-2或x＞1，
故原不等式的解集為：（-∞，-2）∪（1，+∞）．
分析：（I）根據(jù)已知條件中，：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②當x＞0時、f（x）＞-1；令x=y=0，即可求出f（0）的值，在R上任取x1＞x2，則x1-x2＞0，根據(jù)f（x1）=f[（x1-x2）+x2]，結(jié)合已知條件，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（II）若f（1）=1，則我們易將關(guān)于x的不等式；f（x²+2x）+f（1-x）＞4化為f（x²+x+1）＞f（3），結(jié)合（I）的結(jié)論，可將原不等式化為一個一元二次不等式，進而得到答案．
點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及一元二次不等式的解法，其中解答抽象函數(shù)時根據(jù)“已知”和“未知”使用“湊”的方法，是解答抽象函數(shù)最常用的思路．