Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，記點(diǎn)， .

（Ⅰ）求直線的方程；

（Ⅱ）證明：線段與曲線有且只有一個(gè)異于、的公共點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）先求函數(shù)的極值點(diǎn)，再求兩極值點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求出其方程；（2）依據(jù)題設(shè)條件先構(gòu)造函數(shù)將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再借助導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分析推證：

（Ⅰ）令，解得或，

且在區(qū)間， 上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

， ， ， ，即， ，

直線的方程為，化簡得.

（Ⅱ）設(shè) ，

則線段與曲線的公共點(diǎn)即在區(qū)間上的零點(diǎn).

令 ，解得， ，

且在區(qū)間， 上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

由 可得 ，

即， ，

在區(qū)間上有且僅有有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，有， 在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有， 在上無零點(diǎn)；

綜上， 在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

所以線段與曲線有且只有一個(gè)異于、的公共點(diǎn).