Question

（2012•臺(tái)州模擬）已知奇函數(shù)f（x）為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-f（x）＜0，則f（x）＞0的解集為（　�。�

A．（-∞，-1）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-1，0）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：由條件可得在（0，+∞）上，g（x）=

f(x)

x

為減函數(shù)．由g（-x）=g（x）可得函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得不等式等價(jià)于 x•g（x）＞0，等價(jià)于

x＞0 g(x)＞0

，或

x＜0 g(x)＜0

，由此求得不等式的解集．

解答：解：由題意可得f（-1）=-f（1）=0，設(shè)g（x）=

f(x)

x

，則g（x）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

．
∵當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）＜f（x）成立，即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）恒小于0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=

f(x)

x

為減函數(shù)．
又∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)．
又∵g（1）=

f(1)

1

=0，
∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得
不等式f（x）＞0等價(jià)于 x•g（x）＞0等價(jià)于

x＞0 g(x)＞0

，或

x＜0 g(x)＜0

，解得 0＜x＜1，或x＜-1，
故選 B．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．