Question

如圖，CD是△ABC中AB邊上的高，以AD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E，一BD為直徑的圓交BC于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：E、D、F、C四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若BD=5，CF=

16

3

，求四邊形EDFC外接圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用AD，BD是直徑，可得∠AED=∠BFD=90°，再證明∠DEC+∠DFC=180°，即可證明：E、D、F、C四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）確定BD是四邊形EDFC外接圓的切線，求出BD，同理求出CD，即可求四邊形EDFC外接圓的半徑．

解答： （Ⅰ）證明：連接ED，F(xiàn)D，
∵AD，BD是直徑，∴∠AED=∠BFD=90°，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∴∠DEC+∠DFC=180°，
∴E、D、F、C四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）解：∵∠DEC=90°，
∴CD是四邊形EDFC外接圓的直徑，
∵CD是△ABC中AB邊上的高，
∴BD是四邊形EDFC外接圓的切線，
∴BD=BF•BC
∵BD=5，CF=

16

3

，
∴BF=3，
同理CD=

20

3

∴四邊形EDFC外接圓的半徑為

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．