Question

若函數(shù)f（x）滿足：2f（x）+f（

1

x

）=3x，則f（x）+f（

1

x

）的值域?yàn)?div id="aqtftvx" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以先求出函數(shù)f（x）的解析式，再求出函數(shù)f（x）+f（

1

x

）的解析式，從而求出f（x）+f（

1

x

）的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足：2f（x）+f（

1

x

）=3x，
∴2f（

1

x

）+f（x）=

3

x

，
∴f(x)=2x-

1

x

，
f(

1

x

)=

2

x

-x，（x≠0），
∴f(x)+f(

1

x

)=x+

1

x

，（x≠0），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2，
當(dāng)x＜0時(shí)，（-x）+

1

(-x)

≥2，x+

1

x

≤-2，
∴f（x）+f（

1

x

）的值域?yàn)椋海?∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的解析式和值域，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．