【題目】已知函數(shù),,.
(1)求的最大值;
(2)若對(duì),總存在,使得成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求得函數(shù)的最大值;
(2)由題意可知,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,
所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即;
(2)由題意可知,即.
,則,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,即.
①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),對(duì)任意的恒成立,
此時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,
,解得,此時(shí);
②當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),對(duì)任意的恒成立,
此時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,
,解得,此時(shí);
③當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),則存在,使得,
且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
,,.
當(dāng)時(shí),,解得;
當(dāng)時(shí),,解得,此時(shí).
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研究新產(chǎn)品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.
(1)求恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;
(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤120萬元,不成功則會(huì)虧損50萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,企業(yè)可獲得利潤100萬元,不成功則會(huì)虧損40萬元,求該企業(yè)獲利ξ萬元的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 版)規(guī)定了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平,現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對(duì)二人進(jìn)行了測(cè)驗(yàn),根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖(如圖,每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為分,分值高者為優(yōu)),則下面敘述正確的是( )
(注:雷達(dá)圖(Radar Chart),又可稱為戴布拉圖、蜘蛛網(wǎng)圖(Spider Chart),可用于對(duì)研究對(duì)象的多維分析)
A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙
B.甲的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)
C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差
D.乙的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于甲
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機(jī)抽取了100人,統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客,試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為鼓勵(lì)顧客使用自由購,該超市擬對(duì)使用自由購的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購物,試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購物袋.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足,問: 與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長為正三角形,分別是的中點(diǎn),,則球的體積為_________________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,平面平面,為線段上一點(diǎn),, 為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求三棱錐C-BMN的體積.
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科目:
來源: 題型:【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過 | 不超過 | |
第一種生產(chǎn)方式 | ||
第二種生產(chǎn)方式 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.
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