Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（1-a）x²-（a-1）x-1-lnx
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線 y=-x-2013垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)g（x）=f′（x） 的單調(diào)區(qū)間；
（3）試討論函數(shù)h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-）x+的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=2處的切線與直線 y=-x-2013垂直，所以f′（2）=2，
即4-2（1-a）-（a-1）-=2，解得a=-，
所以a=-．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，g（x）=f′（x）=，
g′（x）=2x+1+，因?yàn)閤∈（0，+∞），所以g′（x）＞0，
故g（x）的單調(diào)增區(qū)間是∈（0，+∞）．
（3）h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-）x+=，
h′（x）==3[x-（a-）]（x-），
①當(dāng)a-=即a=1時(shí)，h′（x）=≥0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a-＜≤0即a≤-時(shí)，由h′（x）＞0?x＞0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a-≤0＜即-＜a時(shí)，由h′（x）＞0?x＞，由h′（x）＜0?0＜x＜，函數(shù)h（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增；
④當(dāng)0＜a-＜即＜a＜1時(shí)，由h′（x）＞0?0＜x＜a-或x＞，函數(shù)h（x）在（0，a-），（，+∞）上單調(diào)遞增，在（a-，）上單調(diào)遞減；
⑤當(dāng)a-＞即a＞1時(shí)，由h′（x）＞0?0＜x＜或x＞a-，函數(shù)h（x）在（0，），（a-，+∞）上單調(diào)遞增，在（，a-）上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）的增區(qū)間是（0，a-），（，+∞），減區(qū)間是（a-，）；
當(dāng)-＜a時(shí)，函數(shù)h（x）的增區(qū)間是（，+∞），減區(qū)間是（0，）；當(dāng)a≤-時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)h（x）的增區(qū)間是（0，），（a-，+∞），減區(qū)間是（，a-）．
分析：（1）由函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線 y=-x-2013垂直，知f′（2）=2，由此可求a值；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，可求g（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求其單調(diào)區(qū)間；
（3）求出h′（x），然后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解含參的二次不等式即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查含參的二次不等式的解法及分類討論思想，難度較大．