Question

已知向量

a

=（cos⁴x-sin⁴x，2sinx），

b

=（1，-cosx），函數(shù)f（x）=

2

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)圖象的作法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量和三角函數(shù)運算可得f（x）=2cos（2x+

π

4

），令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，解x可得對稱中心；
（2）由（1）列出特殊點，描點可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（cos⁴x-sin⁴x，2sinx），

b

=（1，-cosx），
∴f（x）=

2

a

•

b

=

2

（cos⁴x-sin⁴x）-2

2

sinxcosx
=

2

cos2x-

2

sin2x=2cos（2x+

π

4

），
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

π

8

，
∴函數(shù)f（x）的對稱中心為（

kπ

2

+

π

8

，0），k∈Z；
（2）由（1）知f（x）=2cos（2x+

π

4

），
可得f（0）=

2

，f（

π

8

）=0，f（

3π

8

）=-2，
f（

5π

8

）=0，f（

7π

8

）=2，f（π）=

2

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象如下圖所示：

點評：本題考查平面向量和三角函數(shù)的結(jié)合，涉及三角函數(shù)的對稱性以及五點作圖，屬中檔題．