Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G，H分別是線段PA，PD，CD，AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EFGH；
（Ⅱ）求二面角C-EF-G的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明E、F、G、H四點(diǎn)共面，再利用三角形中位線的性質(zhì)證明EH∥PB，利用線面平行的判定證明PB∥平面EFGH；
（Ⅱ）證明∠BEH為二面角C-EF-G的平面角，利用余弦定理即可求二面角C-EF-G的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)，∴GH∥AD∥EF，
∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．
又H為AB的中點(diǎn)，∴EH∥PB，
∵EH?面EFGH，PB?平面EFGH，∴PB∥面EFGH；
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，
∴AD⊥AB，AD⊥PA
∵AB∩PA=A
∴AD⊥平面PAB
∵EF∥AB
∴EF⊥平面PAB
∴∠BEH為二面角C-EF-G的平面角
△BEH中，BH=1，EH=

2

，BE=

5

，∴cos∠BEH=

2+5-1

2× 2 × 5

=

3 10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．