已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點關(guān)于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.
(1) +=1 (2) (3)見解析
解析(1)解:由題意知e==,
∴e2===,
即a2=b2.
又b==,
∴b2=3,a2=4,
故橢圓的方程為+=1.
(2)解:由題意知直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為y=k(x-4).
由
得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.
由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,
得k2<.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則 (*)
∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,
∴·=x1x2+y1y2
=(1+k2)·-4k2·+16k2
=25-
∵0≤k2<,
∴-≤-<-,
∴·∈.
∴·的取值范圍是.
(3)證明:∵B、E兩點關(guān)于x軸對稱,
∴E(x2,-y2).
直線AE的方程為y-y1=(x-x1),
令y=0得x=x1-,
又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),
∴x=.
將(*)式代入得,x=1,
∴直線AE與x軸交于定點(1,0).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,正方形CDEF內(nèi)接于橢圓,且它的四條邊與坐標軸平行,正方形GHPQ的頂點G,H在橢圓上,頂點P,Q在正方形的邊EF上.且CD=2PQ=.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0),l交橢圓于A,B兩個不同點,求證:直線MA,MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的右頂點為A(1,0),過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點P處的切線與C1交于點M,N.當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時,求h的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知A,B分別是橢圓C1:+=1的左、右頂點,P是橢圓上異于A,B的任意一點,Q是雙曲線C2:-=1上異于A,B的任意一點,a>b>0.
(1)若P(,),Q(,1),求橢圓C1的方程;
(2)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1·k2+k3·k4為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個點.
(1)求r的取值范圍;
(2)當四邊形ABCD的面積最大時,求對角線AC、BD的交點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當△AMN的面積為時,求k的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知定點A(-2,0)和B(2,0),曲線E上任一點P滿足|PA|-|PB|=2.
(1)求曲線E的方程;
(2)延長PB與曲線E交于另一點Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直線l的方程為x=a(a≤),延長PB與曲線E交于另一點Q,如果存在某一位置,使得從PQ的中點R向l作垂線,垂足為C,滿足PC⊥QC,求a的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓:()的焦距為,且過點(,),右焦點為.設(shè),是上的兩個動點,線段的中點的橫坐標為,線段的中垂線交橢圓于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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