如圖：在多面體中，，,

，。

（1）求證：;

(2)求證：；

（3）求二面角的余弦值。

 

【答案】

（1）見解析(2) 見解析（3）

【解析】本試題主要是考查了線面垂直和線面平行的判定定理的運(yùn)用，以及二面角大小的求解的綜合運(yùn)用。

(1)yw由于所以，

則又，則是解題的關(guān)鍵

(2) 取的中點(diǎn)，連結(jié)

由條件知，，

∴四邊形和為平行四邊形，

∴，，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴

然后得到結(jié)論。

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，然求解平面的法向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)得到夾角的值。

證明：（Ⅰ）由于所以，

則又，則，

所以又，則

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)

由條件知，，

∴四邊形和為平行四邊形，

∴，，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴

∴平面平面，則平面。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知兩兩垂直，如圖建系，

設(shè)，則，，

，

設(shè)平面的法向量為，則由，得，取，則故，

而平面的法向量為，則

所以二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年湖南六校聯(lián)考理）  如圖，在多面體中，底面是邊長為2的菱形，且，連結(jié)BD，三棱錐和三棱錐為分別是以和為底面的相同的正三棱錐，且。

       （1）求證：。

       （2）求點(diǎn)到平面距離。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省聊城市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

( 12分）如圖，在多面體中，面，，且，為中點(diǎn)。

 

 

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成的銳二面角的余弦值。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年內(nèi)蒙古呼倫貝爾市高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，平面，，且是邊長為2的等邊三角形，與平面所成角的正弦值為.

（Ⅰ）在線段上存在一點(diǎn)F，使得面，試確定F的位置；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題分項(xiàng)版理科數(shù)學(xué)之專題十三導(dǎo)數(shù) 題型：解答題

（本小題滿分12分）

    如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn)。

    (Ⅰ)求證：∥平面；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題分項(xiàng)版理科數(shù)學(xué)之專題十排列、組合、二項(xiàng)式定理 題型：解答題

（本小題滿分12分）

    如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點(diǎn)。

    (Ⅰ)求證：∥平面；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小。

 

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