已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n∈N+.

(1)證明數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列;

(2)設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng);

(3)記bn=+,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,并證明Sn+=1.

解:(1)證明:由已知得an+1=an2+2an,∴an+1+1=(an+1)2-1an+1+1=(an+1)2.

又∵a1=2,∴an+1>0,兩邊取對(duì)數(shù)得lg(an+1+1)=2lg(an+1)(n∈N+),即=2.

∴數(shù)列{lg(1+an)}是公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1·lg(1+a1)=2n-1·lg3=lg32n-1,∴1+an=32n-1.(*)

∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=··=+…+2n-1=3(2n-1).

由(*)式得an=-1.

(3)∵an+1=an2+2an,∴an+1=an(an+2).∴==().

=.

又bn=+,∴bn=2().

∴Sn=b1+b2+…+bn=2(++…+)=2().

又∵an=-1,a1=2,an+1=-1,∴Sn=1.

又由(2)知Tn=,∴Sn+=1+=1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
1
2
,前n項(xiàng)和Sn=n2an(n≥1).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)b1=0,bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:Tn
n2
n+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的n∈N*,當(dāng)n≥2,時(shí),an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1
的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=(n+1)an,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,n∈N*,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江門一模)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,若?n∈N*,an•an+1=-2,則an=
1,n是正奇數(shù)
-2,n是正偶數(shù)
1,n是正奇數(shù)
-2,n是正偶數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=3,通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1(n≥2).
(1)求證:數(shù)列{
1Sn
}
是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
2
3
,an+1=
2an
an+1
,n∈N+
(Ⅰ)設(shè)bn=
1
an
-1
證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)數(shù)列{
n
bn
}的前n項(xiàng)和Sn

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