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1.已知點P為函數(shù)f(x)=lnx的圖象上任意一點,點Q為圓[x-(e+1e)]2+y2=1任意一點,則線段PQ的長度的最小值為(  )
A.ee21eB.2e2+1eeC.e2+1eeD.e+1e-1

分析 由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(e+1e,0)到函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點的距離的最小值.設f(x)圖象上一點P(m,lnm),求得切線的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,可得lnm+m2-(e+1e)m=0,由g(x)=lnx+x2-(e+1e)x,求出導數(shù),判斷單調(diào)性,可得零點e,運用兩點的距離公式計算即可得到所求值.

解答 解:由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(e+1e,0)
到函數(shù)f(x)=lnx圖象上一點的距離的最小值.
設f(x)圖象上一點(m,lnm),
由f(x)的導數(shù)為f′(x)=1x,
即有切線的斜率為k=1m
可得lnm0me+1e=-m,
即有l(wèi)nm+m2-(e+1e)m=0,
由g(x)=lnx+x2-(e+1e)x,可得g′(x)=1x+2x-(e+1e),
當2<x<3時,g′(x)>0,g(x)遞增.
又g(e)=lne+e2-(e+1e)•e=0,
可得x=e處點(e,1)到點Q的距離最小,且為1+1e2,
則線段PQ的長度的最小值為為1+1e2-1,即1+e2ee
故選:C.

點評 本題考查導數(shù)的運用:求切線的斜率和單調(diào)性,考查圓的對稱性和兩點的距離公式,考查運算能力,屬于中檔題.

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