Question

已知函數(shù)f（x）=lnx²-

2ax

e

，（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，過點(diǎn)P（0，t）（t∈R）作曲線y=f（x）的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)為P1（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂），求證：x₁+x₂=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定義域，求出f′（x），分三種情況a=0，a＞0，a＜0，由f′（x）＞0得到函數(shù)的增區(qū)間；由f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間即可；
（Ⅱ）把a(bǔ)=1代入到導(dǎo)函數(shù)中得到f′（x），則兩條切線的斜率分別為

2(e-x1)

ex1

和

2(e-x2)

ex2

，又因?yàn)榍芯�過p（0，t），所以寫出兩條切線的方程，化簡得到x₁²=x₂²．因?yàn)閤₁≠x₂所以得證．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
f′（x）=

2

x

-

2a

e

=

2(e-ax)

ex

．
當(dāng)a=0時，由f′（x）=

2

x

≥0，解得x＞0；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）=

2(e-ax)

ex

＞0，解得0＜x＜

e

a

；
當(dāng)a＜0時，由f′（x）=

2(e-ax)

ex

＞0，解得x＞0，或x＜

e

a

．
所以當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，

e

a

）；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，

e

a

）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）因?yàn)閒′（x）=

2

x

-

2

e

=

2(e-x)

ex

，
所以以p₁（x₁，f（x₁））為切點(diǎn)的切線的斜率為

2(e-x1)

ex1

；
以p₂（x₂，f（x₂））為切點(diǎn)的切線的斜率為

2(e-x2)

ex2

．
又因?yàn)榍芯�過點(diǎn)p（0，t），
所以t-lnx12+

2x1

e

=

2(e-x1)

ex1

(0-x1)；t-lnx22+

2x2

e

=

2(e-x2)

ex2

(0-x2)．
解得，x₁²=e^t+2，x₂²=e^t+2．則x₁²=x₂²．
由已知x₁≠x₂
所以，x₁+x₂=0．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，會利用導(dǎo)數(shù)曲線上某點(diǎn)的切線方程．