Question

13．函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}f（x）$；③f（1-x）=1-f（x）．則$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{8}）$=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由已知函數(shù)f（x）滿足的三個條件求出f（1），f（$\frac{1}{2}$），f（$\frac{1}{3}$），進而求出f（$\frac{1}{9}$），f（$\frac{1}{6}$）的函數(shù)值，又由函數(shù)f（x）為非減函數(shù)，求出f（$\frac{1}{8}$）的值，即可得到答案．

解答 解：∵f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
令x=1，則f（0）=1-f（1），解得f（1）=1，
令x=$\frac{1}{2}$，則f（$\frac{1}{2}$）=1-f（$\frac{1}{2}$），解得：f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
又∵$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}f（x）$，
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
又由f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，
故f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{4}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及對新定義的理解，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．