Question

已知函數(shù)f（x）=mx²+lnx-2x．
（1）若m=-4，求函數(shù)f（x）的最大值．
（2）若f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．．…（1分）
（1）當(dāng)m=-4時(shí)，，
令f'（x）=0，得或（舍去）．…（3分）
列表：

x
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	最大值：	↘

故函數(shù)f（x）的最大值為．…（6分）
（2）令f'（x）≥0，即，．
∵x＞0，∴2mx²-2x+1≥0．
∵f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴2mx²-2x+1≥0在x∈（0，+∞）恒成立．…（7分）
即．…（9分）
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取得．
故．…（12分）
分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值；
（2）令導(dǎo)數(shù)大于等于0，再利用分離參數(shù)法，確定相應(yīng)函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再利用分離參數(shù)法求解．