Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷直線與曲線的位置關(guān)系；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，且與曲線交于兩點(diǎn)，且，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線與曲線相切（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）將極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程化為普通方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)坐標(biāo)為，且直線的斜率為，直線的傾斜角為，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為，

∴曲線的普通方程為，表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，

∵，

∴，

∴直線的直角坐標(biāo)方程為，

即，

∵到直線的距離為，

∴直線與曲線相切；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)坐標(biāo)為，且直線的斜率為，

∴直線的傾斜角為，

∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

曲線的普通方程為，

將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，

整理，得，

∵直線與曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，

∴，

且，

∵，

∴，

解得（滿足），

∴的值為.