Question

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若，求g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）當x＞0時，求證；
（3）當n∈N₊且n≥2時，求證：．

Answer 1

（1）解：，=
∴g（x）在[0，1]上單調減，在[1，2]上單調增
∵g（0）=0，g（1）=，g（2）=-1+ln3
∴g（x）在[0，2]上的最大值為-1+ln3，最小值為0
（2）證明：函數的定義域為（-1，+∞）
構造函數h（x）=f（x）-x，∴h′（x）=
∴函數在（-1，0）上單調增，在（0，+∞）上單調減
∴在x=0處，函數取得極大值，也是最大值
∴h（x）≤h（0）=0
∴f（x）-x≤0
∵x＞0，∴
構造函數φ（x）=f（x）-，∴φ′（x）=
∴函數在（-1，0）上單調減，在（0，+∞）上單調增
∴在x=0處，函數取得極小，也是最小值
∴φ（x）≥φ（0）=0
∴f（x）-≥0
∵x＞0，∴
∴
（3）證明：∵f（x）=ln（x+1），∴f（n）-f（n-1）=f（）
由（2）知：
∴
∴，，，…，
疊加可得：
分析：（1）求導函數，確定合適的單調性，g（x）在[0，1]上單調減，在[1，2]上單調增，比較端點的函數值，即可確定g（x）在[0，2]上的最大值與最小值；
（2）函數的定義域為（-1，+∞），構造函數h（x）=f（x）-x，可得函數在（-1，0）上單調增，在（0，+∞）上單調減，從而在x=0處，函數取得極大值，也是最大值，同理構造函數φ（x）=f（x）-，可得函數在（-1，0）上單調減，在（0，+∞）上單調增，從而在x=0處，函數取得極小，也是最小值
（3）根據f（x）=ln（x+1），可得f（n）-f（n-1）=f（）由（2）知：，從而，進而利用疊加可得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查不等式的證明，解題的關鍵是正確求導，確定函數的單調性，適當構造函數，確定函數的最值．