【題目】《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中對幾何學(xué)的研究比西方早一千多年.在該書中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵;將底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬;將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,在塹堵中,,,鱉臑的體積為2,則陽馬外接球表面積的最小值為__________

【答案】

【解析】

根據(jù)“四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑”可知陽馬外接球球心為的中點,且為外接球的直徑.通過鱉臑的體積為2,求得塹堵的體積,設(shè)出的長,求得球的直徑的表達式,進而求得球的表面積的表達式,再通過基本不等式求得表面積的最小值.

由于“四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑”,故可知陽馬外接球球心為的中點,且為外接球的直徑. 鱉臑的體積為,故塹堵的體積為.設(shè),依題意.而,故陽馬外接球表面積為,由基本不等式得,即陽馬外接球表面積的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】手機作為客戶端越來越為人們所青睞,通過手機實現(xiàn)衣食住行消費已經(jīng)成為一種主要的消費方式.在某市,隨機調(diào)查了200名顧客購物時使用手機支付的情況,得到如下的2×2列聯(lián)表,已知從使用手機支付的人群中隨機抽取1人,抽到青年的概率為.

(I)根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)此資料判斷是否有99.5%的把握認為“市場購物用手機支付與年齡有關(guān)”?

2×2列聯(lián)表:

青年

中老年

合計

使用手機支付

120

不使用手機支付

48

合計

200

(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機支付”和“不使用手機支付”抽取一個容量為10的樣本,再從中隨機抽取3人,求這三人中“使用手機支付”的人數(shù)的分布列及期望.

附:

0.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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【題目】已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為,離心率為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線的斜率為,直線與橢圓C交于兩點.點為橢圓上一點,求的面積的最大值.

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【題目】已知函數(shù).

1)當(dāng)時,求的最小值;

2)是否存在實數(shù),同時滿足下列條件:①;②當(dāng)的定義域為時,其值域為.若存在,求出,的值,若不存在,說明理由.

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【題目】甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取五場三勝制(當(dāng)一隊贏得三場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束). 根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為主主客客主”. 設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以3:1獲勝的概率為(

A.0.15B.0.21C.0.24D.0.30

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【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng),的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若直線是曲線的切線的值.

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【題目】已知函數(shù)定義域為,設(shè).

1)試確定的取值范圍,使得函數(shù)上為單調(diào)函數(shù);

2)求證:;

3)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數(shù).

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【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出停課不停學(xué)的口號,鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系,對高三年級隨機選取45名學(xué)生進行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占,統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表:

分數(shù)不少于120

分數(shù)不足120

合計

線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時

4

19

線上學(xué)習(xí)時間不足5小時

合計

45

1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認為高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān);

2)在上述樣本中從分數(shù)不少于120分的學(xué)生中,按照分層抽樣的方法,抽到線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時和線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的學(xué)生共5名,若在這5名學(xué)生中隨機抽取2人,求至少1人每周線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的概率.

(下面的臨界值表供參考)

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式 其中

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