Question

已知函數(shù)f(x)=2+.數(shù)列{a_n}中，a₁=a,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*).當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列{a_n}，如當(dāng)a=1時(shí)，得到無(wú)窮數(shù)列1,3,,,…;當(dāng)a=-時(shí)，得到有窮數(shù)列-,

(Ⅰ)求a的值，使得a₃=0;

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=-,b_n=f(b_n+1)(n∈N^*),求證：不論a取{b_n}中的任何數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{a_n}.

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=a,a₂=f(a)=2+=,a₃=f(2)=2+=2+=0,

    解得：a=-.

（Ⅱ）分析：要證明：不論a取{b_n}中的任何數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列{a_n},只需證明當(dāng)a取{b_n}中的任意數(shù)bk時(shí)，由公式a_n+1=f(a_n)可得到值為0的項(xiàng).

證明：設(shè)a_n=b_k,k∈N^*，則a₂=f(a₁)=f(b_k)=b_k-1,

    同理a₃=b_k-2,a₄=b_k-3.

…a_k=b₁=-,∴a_k+1=0.

    數(shù)列{a_n}只有k+1項(xiàng)，故為有窮數(shù)列.命題得證.