Question

已知f(x)=

x

1+x

，數(shù)列{a_n}是以1為首項，f（1）為公比的等比數(shù)列；數(shù)列{b_n}中b1=

1

2

，且b_n+1=f（b_n）
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令cn=an(

1

bn

-1)，求{c_n}的前n項和為T_n．
（3）證明：對?n∈N₊，有1≤T_n＜4．

Answer 1

分析：（1）由等比數(shù)列通項公式可求a_n；b_n+1=f（b_n）=

bn

1+bn

，兩邊取倒數(shù)得，

1

bn+1

=

1

bn

+1，從而可知{

1

bn

}是以1為公差的等差數(shù)列，可求

1

bn

，進而可得b_n；
（2）由（1）求得c_n，利用錯位相減法可求T_n；
（3）通過作差可判斷T_n單調(diào)性，由單調(diào)性可證明結(jié)論；

解答：解：（1）f（1）=

1

2

，則an=(

1

2

)n-1，
b_n+1=f（b_n）=

bn

1+bn

，兩邊取倒數(shù)得，

1

bn+1

=

1

bn

+1，
所以{

1

bn

}是以1為公差的等差數(shù)列，則

1

bn

=2+（n-1）×1=n+1，
所以bn=

1

n+1

，；
（2）cn=an(

1

bn

-1)=(

1

2

)n-1(n+1-1)=n•(

1

2

)n-1，
則Tn=1+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1①，

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n②，
①-②，得

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=2[1-(

1

2

)n]-n•(

1

2

)n=2-

2+n

2n

，
所以Tn=4-

2+n

2n-1

；
（3）因為Tn+1-Tn=[4-

2+(n+1)

2n

]-（4-

2+n

2n-1

）=

n+1

2n

＞0，所以T_n+1＞Tn，
所以Tn=4-

2+n

2n-1

遞增，T_n≥T₁=1，
又

2+n

2n-1

＞0，所T_n＜4，
所以1≤T_n＜4；

點評：本題考查由遞推式求通項公式及等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法對數(shù)列求和，屬中檔題．