Question

解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 已知函數(shù)，(x＞0)． (1) 當(dāng)0＜a＜b，且f(a)＝f(b)時(shí)，求證：ab＞1 (2) 是否存在實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使得函數(shù)y＝f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3) 若存在實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使得函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb] (m≠0)，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵x＞0，∴ ∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)． 由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)， 可得0＜a1＜b和． 即． ∴2ab＝a＋b＞．……………………………………3分 故，即ab＞1．……………………………………4分
(2)	解：不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a，b． 若存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y＝的定義域、值域都是 [a，b]，則a＞0． ①當(dāng)時(shí)，在(0，1)上為減函數(shù)． 故即 解得a＝b． 故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………6分 ②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)． 故即 此時(shí)a，b是方程的根，此方程無(wú)實(shí)根． 故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………8分 ③當(dāng)，時(shí)， 由于，而， 故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b． 綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．………………………………10分
(3)	解：若存在實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使得函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]． 則a＞0，m＞0． ①當(dāng)時(shí)，由于f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，故．此時(shí)刻得a，b異號(hào)，不符合題意，所以a，b不存在． ②當(dāng)或時(shí)，由()知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在． 故只有． ∵在上是增函數(shù)， ∴即 a，b是方程的兩個(gè)根． 即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于1的實(shí)根．……………………12分 設(shè)這兩個(gè)根為，． 則＋＝，·＝． ∴即 解得． 故m的取值范圍是．…………………………………………14分