Question

設(shè)函數(shù)，其中。

（Ⅰ）若，求a的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解： 函數(shù)的定義域是                        1分

對求導(dǎo)，得                 3分

由得

解得                                                      4分

（Ⅱ）解由（Ⅰ）知

令，得，則。

所以當(dāng)時，

方程存在兩根

x變化時，與的變化情況如下表：

				0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

 即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；                  7分

當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810212395704987/SYS201209081022038069935951_DA.files/image030.png">

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；         8分

當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090810212395704987/SYS201209081022038069935951_DA.files/image035.png">

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增。

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增。                                        9分

（Ⅲ）證明：當(dāng)時，

令

則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，                                           10分

則當(dāng)時，恒有

即當(dāng)時，有

整理，得                                      11分

對任意正整數(shù)n，取得，

所以，整理得           12分

則有

……

所以

，

即                                           14分

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。求解函數(shù)的單調(diào)性和極值以及不等式的恒成立問題的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)橄惹蠼鈱?dǎo)數(shù)，然后令x=1得到，求解得到a的值；

（2）當(dāng)a<0時，分類討論函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性；

（3）要證明：對任意的正整數(shù)n，不等式都成立,要用到當(dāng)a=1時函數(shù)的單調(diào)性中的結(jié)論來分析求證。