Question

【題目】如圖所示，半徑R的均勻圓木在水平地面上以平動(dòng)速度做勻速滾動(dòng)時(shí)，與高h的臺(tái)階相遇，接觸處發(fā)生完全非彈性碰撞，即在碰撞后圖中圓木與臺(tái)階側(cè)棱接觸部位A的速度降為零。再設(shè)兩者間的摩擦因數(shù)足夠大，使得部位A不會(huì)與臺(tái)階側(cè)棱在而后的接觸過(guò)程中發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

（1） 和h取何值時(shí)，圓木能繞側(cè)棱滾上臺(tái)階？

（2）在（1）問(wèn)基礎(chǔ)上，確定部位A與側(cè)棱間摩擦因數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）碰撞前圓木的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為

.

碰后瞬間圓木轉(zhuǎn)動(dòng)角速度記為，因碰撞前后相對(duì)側(cè)棱角動(dòng)量守恒，故有

，

，

其中m為圓木質(zhì)量。

可解得。

而后的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，為能滾上臺(tái)階，首先要求

.

即得。

過(guò)程中除了摩擦因數(shù)足夠大，確保A與側(cè)棱間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，還要求側(cè)棱指向圓木中心的法向支持力N始終大于零。如圖乙所示，將轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中角速度記為，則有

.

上滾時(shí)，增大，增大，減�。ㄒ騽�(shì)能增大，動(dòng)能減�。�，故N增大�？梢�(jiàn)，N在轉(zhuǎn)動(dòng)的最初時(shí)刻最小。于是，要求

，

即要求。

綜上所述，可取范圍為

.

為使上式能滿足，還要求

，

即得h可取范圍為。

（2）相對(duì)臺(tái)階側(cè)棱的轉(zhuǎn)動(dòng)定理公式為

.

角加速度沿逆時(shí)針?lè)较�，已在圖中示出.若取質(zhì)心系中質(zhì)心為參考點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)定理公式又為

，

其中，f是側(cè)棱提供的摩擦力，方向也已在圖中示出，于是可得

.

圓木上滾時(shí)，增大，N增大，f減小，故減小.可見(jiàn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的最初時(shí)刻最大，因此

，

式中

，

.

的可取范圍為

.