【題目】在如圖所示的幾何體中,面為正方形,面為等腰梯形, , ,

I)求證: 平面

II)求與平面所成角的正弦值.

III)線段上是否存在點,使平面平面?證明你的結(jié)論.

【答案】I見解析;(II;(Ⅲ)見解析..

【解析】試題分析:Ⅰ)利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得ACBC,又ACFB,利用線面垂直的判定定理即可證明;
Ⅱ)通過建立空間直角坐標系,求平面EAC的法向量,利用所成的角即可得出;
Ⅲ)分別求出兩個平面的法向量 ,若平面EAC⊥平面QBC,只需即可.

試題解析:

(Ⅰ)

證明:不妨設(shè)BC=1,

AB=2BC,∠ABC=60,

在△ABC中,由余弦定理可得AC2=22+122×2×1×cos60=3,

AC2+BC2=AB2,

ACBC.

又∵ACFB,CBBF=B,

AC⊥平面FBC.

(Ⅱ)∵AC⊥平面FBC,∴ACFC.

CDFC,∴FC⊥平面ABCD.

CACF,CB兩兩互相垂直,如圖建立的空間直角坐標系Cxyz.

在等腰梯形ABCD中,可得CB=CD.

設(shè)BC=1,所以C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D(,12,0),E(,,1).

=(,,1), =(,0,0), =(0,1,0).

設(shè)平面EAC的法向量為=(x,y,z),則有.

.取z=1,得=(0,2,1).

設(shè)BC與平面EAC所成的角為θ,則.

所以BC與平面EAC所成角的正弦值為.

(Ⅲ)線段ED上不存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC.證明如下:

假設(shè)線段ED上存在點Q,設(shè)Q(,12,t)(0t1),所以CQ=(,,t).

設(shè)平面QBC的法向量為=(a,b,c),則有,

所以.取c=1,得=(t,0,1).

要使平面EAC⊥平面QBC,只需=0,

t×0+0×2+1×1=0,此方程無解。

所以線段ED上不存在點Q,使平面EAC⊥平面QBC.

練習冊系列答案
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