Question

【題目】在焦距為20.00cm的薄凸透鏡的主軸上離透鏡中心30.00cm處有一小發(fā)光點S，一個厚度可以忽略的光楔C（頂角α很小的三棱鏡）放在發(fā)光點與透鏡之間，垂直于主軸，與透鏡的距離為2.00cm，如圖所示。設光楔的折射率，楔角。在透鏡另一側離透鏡中心46.25cm處放一平面鏡M，其反射面向著透鏡并垂直于主軸。問最后形成的發(fā)光點的像相對發(fā)光點的位置在何處？（只討論近軸光線，小角度近似適用。在分析計算過程中應作必要的光路圖。）

Answer 1

【答案】像點在發(fā)光點S左側光軸上方，到光軸的距離為0.55cm，其在光軸上的垂足到S的距離為22.00cm。

【解析】

這是一個光具成像問題，厚度可忽略的光楔在成像過程中的作用相當于一使光線產(chǎn)生偏折的薄平板，平面鏡使光線反射后再次經(jīng)凸透鏡成像，在這一過程中，我們再根據(jù)折射定律、透鏡成像公式及有關數(shù)學近似進行一系列計算，就可得出最后結果。共有五次成像過程。

（1）光楔使入射光線偏折，其偏向角（出射光線與入射光線方向的夾角）用表示，由圖可知

,

，。

對近軸光線，很小，有；

因α也很小，同樣有。

故有

。

代入數(shù)值，得。

因與入射角大小無關，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路圖時可畫成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板，如圖。

光點S經(jīng)光楔成一虛像點。對近軸光線，在S正上方，到S的距離為h，離光楔距離。

代入數(shù)據(jù)，得。

（2）為透鏡L的實物，像點的位置可由下式求出

。

以，代入，得。

將視為與光軸垂直的小物，由透鏡的放大率公式有

可求得。

即像點在光軸下方與光軸的距離為0.78cm，與透鏡的中心距離為60.00cm處，如圖所示。

（3）在平面鏡之后，對平面鏡是虛物，經(jīng)平面鏡成像，像點與對稱于平面鏡（圖示）。，。

（4）作為透鏡的實物，經(jīng)透鏡折射后再次成像，設像點，及與L的距離分別為和，則，。

在透鏡左側，主軸上方，如圖所示。

。

5．第二次經(jīng)透鏡折射后成像的光線還要經(jīng)光楔偏折，再次成像，像點在正下方，離光楔距離為50cm，離光軸的距離為（如圖所示）。

，

。

像點在光軸上的垂足與S的距離為

。

即最后的像點在發(fā)光點S左側光軸上方，到光軸的距離為0.55cm，其在光軸上的垂足到S的距離為22.00cm。