【題目】質量分別為,的兩物體、連接在原長,勁度系數(shù)為的彈性繩兩端,并放置在水平桌面上,如圖所示.已知兩物塊與桌面間的摩擦因數(shù)均為.現(xiàn)將兩物拉開至相距處,由靜止釋放,試求:
(1)兩物體相碰時的速度、;
(2)從釋放到相碰所用的時間.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)系統(tǒng)的運動可分解為質心的運動和相對于質心的運動.由于存在外力,故先求質心運動的加速度.
由牛頓第二定律可得
,
所以,.
下面討論兩物體相對于質心的運動.
當、之間的距離為時,、到質心的距離分別為和,則對應部分彈性繩的勁度系數(shù)分別為和.
由于質心系是一個零動量的系統(tǒng),我們選擇其中一個物體作為研究對象,得到繩子松弛時的速度,也就容易得到另一個物體的速度.
討論質心系中的運動.
如圖所示,為繩子的松弛點,則
.
為在彈力、摩擦力和慣性力共同作用下的平衡點,所以
,
所以,.
而拉伸后,,所以,在彈性繩收縮的過程中做振幅為的簡諧運動,其周期.
從釋放到回到原長所經(jīng)歷的時間滿足
.
代入數(shù)據(jù)可得
.
到達點時的速度為,則
.
代入數(shù)據(jù)可得.
利用質心系的動量是零可得
.
回到桌面參考系中,質心的速度為
.
的速度為
.
的速度為
.
以后繩子在松弛狀態(tài),兩物體運動的加速度大小均為
.
由于的速率較小,先計算此刻起到停止為止,經(jīng)歷的時間,滑過的路程.
,
.
在時間內,的運動路程為
,
.
說明在停下來以前,、未發(fā)生碰撞.重新考察的運動,有
.
假設經(jīng)過后還有速度,有
,
解得.
兩物體相碰時的速度為
,(“—”表示方向向左).
(2)前面已經(jīng)得到了,下面再求從繩子松弛開始到、相碰所經(jīng)歷的時間.
利用得,
所以,.
本題是一道較為復雜的動力學習題,對象與過程都較多,而且每個對象的過程都不是單一的,其運動也不是同步的,因此,在對每個對象運用程序法解題時,還必須注意與另一對象的對比,其難度可想而知.
參照系的選擇是捅破本題的一大亮點,此處質心系一方面是零動量系,同時也是非慣性系,零動量系為求解物體的速度帶來了方便,但非慣性系中的動力學問題又必須引入慣性力,而且最后還必須回到地面系來研究問題,得到結果,可謂有得矣有失,但從總體上講,質心系為我們的解題帶來的描述上的簡潔是其他方法無法替代的.
單個物體在有摩擦力作用的情況下的振動,我們平時研究得較多,這種運動單向是簡諧運動,但雙向并不是完整的簡諧運動,因為不同方向振動的平衡位置并不相同,因此,這類習題的解題必須嚴格地遵循程序法的解題步驟.
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【題目】如圖所示,質量可忽略、長為的細繩下端連接一質量為的小球,上端連接質量同為的小圓環(huán),圓環(huán)套在水平的長梁上,相互間無摩擦.開始時細繩與豎直方向的夾角為,(未必為小角度),小球和環(huán)均靜止,而后它們將做自由擺動.將此擺的周期記為,將另一個長為、上端固定、最大幅角也為的單擺周期記為,試比較與的大小關系.
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【題目】下圖為甲、乙兩地氣候統(tǒng)計圖。讀下圖,回答下列各題。
【1】甲、乙兩地雨季時,影響兩地降水的分別是
A. 西南季風、西南季風 B. 西南季風、赤道低壓
C. 赤道低壓、赤道低壓 D. 赤道低壓、西南季風
【2】甲、乙兩地均位于大陸東岸且緯度相近,則乙地年均溫小于甲地的主要原因可能是
A. 云層 B. 地形、地勢 C. 洋流 D. 人類活動
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【題目】音叉做勻速圓周運動,其角速度為,圓的半徑為,音叉的頻率為,空氣中聲速為,靜止的接收器與音叉做圓周運動的圓周共面,距圓心的距離為.設與的夾角為,試問:當接收器收到聲波頻率為最大時,該時刻為多少?并求出最大頻率.
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【題目】有網(wǎng)友用一幅幽默的“奶粉地圖”調侃各國奶粉供應情況,完成下列各題。
【1】該網(wǎng)友制作此圖時,未考慮的因素是
A. 自然條件B. 科技水平
C. 市場D. 交通
【2】乳品加工企業(yè)與乳畜業(yè)密切相關,部分國內奶粉企業(yè)和國際品牌一樣,都是通過進口乳粉加工成配方奶粉出售,獲得了較好的生產效益,據(jù)此說法正確的是
A. 乳品加工產業(yè)均屬于原料指向型
B. 影響眾多國際品牌在中國生產的最重要因素是市場
C. 制約我國奶粉企業(yè)生產的最大因素是政策
D. 影響乳畜業(yè)的最大因素是自然條件
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【題目】 水稻種植業(yè)主要分布在亞洲季風區(qū),故稻米被稱為“亞洲的糧食”。下右圖為美國水稻種植區(qū)圖,下左圖為世界水稻生產投入三角坐標圖,其中右圖中的a、b、c分別表示農業(yè)生產投入中的勞動力、生產資料、科技投入。
回答下列題。
【1】美國水稻種植業(yè)與亞洲水稻種植業(yè)的明顯差異有
A.亞洲水稻生產屬于技術密集型農業(yè)B.美國作物熟制一年三熟,中國一年兩熟
C.產品品種不同D.美國專業(yè)化生產
【2】右圖中的甲、乙、丙、丁四點最能代表亞洲水稻種植業(yè)的是
A.甲B.乙C.丙D.丁
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【題目】某地打算開發(fā)水能資源,并設計了甲、乙兩個方案,讀圖完成下面小題。
甲方案 乙方案
【1】與甲方案相比,乙方案的明顯優(yōu)勢是( )
A.移民人數(shù)多B.淹沒面積小
C.前期投資多D.發(fā)電總量大
【2】圖示工程建成后,對下游可能產生的影響是( )
A.徑流量季節(jié)變化明顯增大B.年徑流總量明顯減少
C.洪澇災害明顯減少D.徑流含沙量明顯增加
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【題目】試求電子由第n+1軌道躍遷到n軌道時氫原子輻射的光波頻率,并證明n很大時趨于經(jīng)典電磁理論的結果,即光頻率等于在第n軌道上的轉動頻率。
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【題目】如圖所示,全反射棱鏡上方6cm處放置一物體AB,棱鏡直角邊長為6cm,棱鏡右側10cm處放置一焦距的凸透鏡,凸透鏡右側15cm處再放置一焦距的凹透鏡,求該光學系統(tǒng)成像的位置和放大率(全反射棱鏡的折射率)。
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